Der Parameter drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der -Achse um den Faktor und außerdem Spiegelung an der -Achse aus, falls ist. Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge, dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast. Symmetrie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit sind symmetrisch; genauer: sie sind gerade für gerade und ungerade für ungerade. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten - Funktionen. Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur -Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Verhalten für x → ±∞ und x → 0 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Alle Potenzfunktionen mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei, steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion) und gehen gegen für. Für ergibt sich das Verhalten für aus der Symmetrie. Alle Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gehen gegen für. Sie fallen und gehen gegen für. Stetigkeit, Ableitung und Integration [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Jede Potenzfunktion ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.
Du wirst es später immer wieder brauchen. Die Potenzen mit rationalem Exponenten sind also nur eine andere Schreibweise für Wurzelausdrücke. Das kann gerade an Computern oft hilfreich sein, da ein Wurzelzeichen nicht immer zu finden ist. Auch Vereinfachungen sind oft in der Potenzschreibweise leichter zu entdecken. Potenzfunktionen – ZUM-Unterrichten. Beispiele: Potenzen mit rationalen Exponenten: Fehlerquellen in Aufgaben Es passiert leider leicht, den Nenner und den Zähler zu verwechseln. Der Exponent geht immer in den Zähler, die Zahl bei der Wurzel immer in den Nenner. Sehr wichtig ist es auch, zu wissen, dass sich eine Wurzel als Potenz schreiben lässt. Viele Schüler vergessen das und kommen dann oft in Klassenarbeiten nicht weiter, da ihnen das entsprechende Wurzelgesetz fehlt. Potenzen mit rationalen Exponenten: 3 hilfreiche Tipps = x 1/2 Alle Wurzeln lassen sich auch als Potenz schreiben. Durch das Umschreiben von Potenzen in Wurzeln und anders herum ist es oft einfacher zu erkennen, was sich kürzen lässt. Potenzen mit rationalen Exponenten: Hier bekommst du Hilfestellung Benötigst du weiterführende, übersichtliche Erklärungen zum Thema Potenzen mit rationalen Exponenten?
Zweitens darf der Nenner nicht Null werden (durch 0 darf man nicht teilen), und somit gehrt auch die Null nicht zum Definitionsbereich. Somit besteht der Definitionsbereich nur aus positiven Zahlen. Der Wertebereich umfat ebenfalls nur positive Zahlen, was man am anschaulich am Graphen erkennen kann. Bei negativen rationalen Exponenten ist die Potenzfunktion streng monoton fallend
Beispiel 5: An welcher Stelle x 0 besitzt der Graph der Funktion f ( x) = x ( x > 0) die Steigung m = 3? Aus f ( x) = x 1 2 ergibt sich f ′ ( x) = 1 2 ⋅ x − 1 2 = 1 2 x. Die Gleichung 1 2 x = 3 hat die Lösung x 0 = 1 36. Das heißt: Der Graph der Funktion f ( x) = x hat an der Stelle x 0 = 1 36. die Steigung 3.
Bei der Multiplikation addieren sich die Exponenten, man kann also einen Wert für x 0, 5 suchen, der mit sich selbst multipliziert x ergibt. Beispiel: Die Quadratwurzel von 100 √100 = 100 (1/2) entspricht der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert 100 ergibt, diese Zahl ist 10. Kubikwurzel So wie x 0, 5 als √x definiert ist, kannst du auch die Begründung für die Kubikwurzel von x x (1/3) verstehen. Welcher Wert von x (1/3) ergibt x, wenn man ihn dreimal mit sich selbst multipliziert? Warum dreimal? Weil drei Mal ein Drittel wieder 1 ergeben x (1/3) • x (1/3) •x (1/3) = x. Frage in der Schule nach, ob du bei ungeraden Wurzeln auch negative x verwenden kannst, denn nicht im ganzen Land wird das einheitlich gemacht. Potenzfunktionen mit rationale exponenten 1. Analytische Eigenschaften Stetigkeit Bezüglich der Definitionsmenge sind alle Potenzfunktionen stetig. Überlege dir also genau, welche Werte für die unabhängige Variable erlaubt sind. Einige Beispiele für Definitionsmengen findest du oben. Ableitung Für eine Potenzfunktion f x =ax r ergibt sich die Ableitung f' x = arx { r-1).
Weitere Ableitungsregeln Neben der Potenzregel und der Faktorregel gibt es natürlich noch weitere wichtige Ableitungsregeln, die du kennen solltest: