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Voraus. Bei (2n+1) bedeutet n-te Wurzel (2n+1)^{1/n}. Wenn dur hier wieder eine Tabelle anlegst, diesmal für sehr große n, dann kannst du erkennen das sich der Wert der reellen Zahl 1 immer mehr nähert, je größer n wird. Es gibt sicher auch noch eine Möglichkeit, das ohne Taschenrechner zu berechen, nur auf dem Papier, ich weiss allerdings nicht, wie das geht. Vielleicht kann dir da noch jemand anderes helfen. Spielkamerad
n-te Wurzeln Nächste Seite: Grenzwerte von Funktionen und Aufwärts: Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorherige Seite: Monotone Folgen Inhalt Feststellung 2. 2. 13 (Approximation der n-ten Wurzel) Es seien und. Wir erhalten eine monoton fallende Folge positiver Zahlen durch die Vorschrift: mit folgenden Eigenschaften:, für, und für. Für den Grenzwert gilt. Bemerkung: Als Startwert kann man z. B. wählen. Dann ist. Beweis. Die Abschätzungen folgen durch Induktion nach. Die beiden ersten Aussagen sind klar nach Definition. Da folgt nach Bernoulli ():... Also existiert. Aus der Rekursionsformel folgt:. Folglich ist. Satz 2. 14 Zu und existiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl mit. Bezeichnung. Die eindeutig bestimmte Zahl aus vorigem Satz heißt die -te Wurzel aus. Bezeichnung: Man setzt. Beweis. Eindeutigkeit: Es seien. Wenn, dann ist. Aus folgt also. Existenz: Die Existenz der n-ten Wurzel folgt aus der Festellung. Bemerkung und Bezeichnung 2. 16 Wir vereinbaren die übliche Exponenten Schreibweise für Wurzeln.